核心概念一句话总结 #

• 稠密向量：向量中的大多数元素都不是零，包含了丰富、稠密的信息。
• 稀疏向量：向量中的绝大多数元素都是零，只有少数几个位置有非零值。

1. 稠密向量 #

定义：稠密向量是指其元素中大部分（或者说相当一部分）都是非零值的向量。这些非零值通常是连续的实数（如0.8， -1.2, 0.05），承载着具体的、有意义的数值信息。

特点：

• 信息丰富：每个维度（或大部分维度）都对最终的表征有贡献。
• 存储开销大：需要存储每一个元素的值，包括那些非常接近零但不为零的值。
• 计算开销大：进行向量运算（如点积）时，需要对所有维度进行计算。
• 语义连续：向量空间中的距离和方向有明确的数学和语义含义（例如，在词嵌入中，“国王” - “男人” + “女人” ≈ “女王”）。

举例说明 #

例子1：词嵌入

假设我们用稠密向量来表示单词，比如使用一个4维的向量。

• “猫” = [0.8, -0.5, 1.2, 0.1]
• “狗” = [0.7, -0.6, 1.1, 0.2]
• “数学” = [-0.5, 0.9, -0.8, 0.5]

你可以看到，这些向量里几乎没有零。每个维度可能代表了某种潜在的语义特征（比如“宠物属性”、“科学属性”等，但这些特征是人类难以直接解释的）。通过计算向量之间的距离，我们可以知道“猫”和“狗”的语义更接近，而它们都与“数学”相差较远。

例子2：图像特征

一张小的2x2的灰度图片，每个像素点的值在0到255之间。

• 图片 = [ [120, 45], [200, 30] ]
• 将其展平为一个稠密向量：[120, 45, 200, 30]
• 同样，所有元素都是非零的，包含了图像的全部信息。

2. 稀疏向量 #

定义：稀疏向量是指其中绝大多数元素都是零，只有极少部分元素为非零值的向量。非零值的数量被称为向量的“稀疏度”。

特点：

• 信息集中：信息只集中在少数几个特定的位置上。
• 存储高效：可以使用特殊的数据结构（如“坐标列表COO”或“压缩稀疏行CSR”）只存储非零值的位置和数值，从而极大地节省内存。
• 计算高效：在进行向量运算时，可以只对非零元素进行操作，忽略所有零值，从而加快计算速度。
• 语义明确：每个维度通常对应一个非常具体的、可解释的特征（如一个特定的单词、一个特定的类别）。

举例说明 #

例子1：词袋模型中的文本表示

假设我们有一个包含所有词汇的词典： [“苹果”, “香蕉”, “汽车”, “电脑”, “喜欢”, “购买”] (词典大小为6)

现在，我们要用这个词典来表示下面这个句子：

• 句子：“我喜欢苹果和香蕉”

我们创建一个长度为6的向量，每个位置对应词典中的一个词。如果句子中包含某个词，该位置就为1，否则为0。

• 句子向量 = [1, 1, 0, 0, 1, 0]

这个向量中，只有3个位置是1（非零），其余3个位置都是0。这就是一个典型的稀疏向量。在实际应用中，词典可能有几万甚至几十万个词，而一个句子通常只包含几十个词，所以向量会变得极其稀疏（比如99.9%的元素都是0）。

例子2：用户行为记录

假设一个电商平台有100万种商品。我们要表示用户A的购买记录。

• 用户A只购买了“商品ID：12345”和“商品ID：67890”。
• 那么用户A的向量就是一个长度为1,000,000的向量。
• 在第12345和67890的位置上，值是1（或者购买数量），在其他999,998个位置上的值都是0。
• 这个向量是极度稀疏的。

对比总结 #

如何选择？ #

• 当你的特征是类别型的（如单词、产品ID、用户ID），并且可能的值非常多时，通常会产生稀疏向量。
• 当你通过一个模型（如神经网络）学习到一个低维、连续的表示时，你得到的就是稠密向量。这种表示通常能捕捉到更复杂的关系和相似性。

希望这个解释和例子能帮助你彻底理解这两个概念！